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Connaissabilité

14. Pour ce qui est de l’âme raisonnable ou de l’esprit (...). Il n’est pas seulement un miroir de l’univers des créatures, mais encore une image de la divinité. L’esprit n’a pas seulement une perception des ouvrages de Dieu ; mais il est même capable de produire quelque chose qui leur ressemble, quoique en petit. Car, pour ne rien dire des merveilles des songes, où nous inventons sans peine, mais aussi sans en avoir la volonté, des choses auxquelles il faudrait penser longtemps pour les trouver quand on veille ; notre âme est architectonique encore dans les actions volontaires, et, découvrant les sciences suivant lesquelles Dieu a réglé les choses (pondere, mensura, numero, etc.), elle imite dans son département et dans son petit monde, où il lui est permis de s’exercer, ce que Dieu fait dans le grand. (Leibniz, Principes de la nature et de la grâce fondés en raison)

Lorsque la configuration ne dérive pas de plusieurs limites, il arrive que la configuration se serve des proportions à côté de cette pluralité. Eh quoi, la proportion serait sans l’action de la pensée ? Assurément cela ne peut en aucune manière être compris. Et à tel point encore que par ce terme, celui qui donne aux quantités les limites pour principe essentiel, pose que les quantités conçues ont une essence intellectuelle. (Kepler, L’Harmonie du Monde, pages 2-3)

Le défi que nous lance Kepler dans L’Harmonie du Monde est de découvrir quelles proportions se trouvent dans l’ordonnancement du système solaire. Tâche plutôt ardue, au vu des limites physiques de l’être humain.
Pourquoi les orbites des planètes sont-ils placés à des intervalles et selon un ordonnancement particuliers ? Pourquoi certaines proportions sont-elles exprimées, plutôt que d’autres ?

Mais tout d’abord, on devrait se demander ce qu’est une proportion. Par exemple, peut-on déterminer la relation existant entre le côté d’un carré et sa diagonale, simplement en le regardant ? Quel procédé peut permettre de connaître cette relation ? Comme on peut vite s’en apercevoir, la vision n’est pas vraiment équipée pour juger de ce type de relations : elle peut simplement procéder par approximations.

Bien sûr, celui qui examine soigneusement cela, que les proportions sont choses de raison, perceptibles par la raison seule, non par la sensation, et que les proportions ou la forme sont discernées par une chose proportionnée, comme la matière, conclut qu’elles sont une œuvre de la pensée. (page 100)

Comment notre esprit aurait-il accès à la connaissance des proportions qui ordonnancent ce que nous voyons ? Si on connaît la relation entre deux lignes, on devrait pouvoir en générer une à partir de l’autre. Une fois découverte la méthode, on peut diviser n’importe quelle ligne en deux, en trois, en dix ou en dix-mille, et obtenir entre deux lignes la relation souhaitée.

Parmi les questions que l’on peut se poser sur l’ordonnancement du système solaire, il y a celle-ci : pourquoi les orbites du système solaire seraient-elles ordonnancées selon certaines proportions, si toutes les proportions se valent ?

Retournons à notre exemple du doublement du carré : nous avons là un cas particulier. Le côté du carré et sa diagonale sont des lignes bien spécifiques : ce sont les côtés des carrés dont l’un a une surface double de l’autre (cela peut être facilement prouvé). La relation entre les deux lignes est donc de 1/√2. C’est une proportion « irrationnelle » ! Le nombre de chiffres après la virgule est trop grand, même pour les calculettes les plus puissantes ! Il semblerait donc qu’il n’y ait pas d’unité de mesure commune entre 1 et √2. Cependant, si on ne s’arrête pas aux lignes en tant que telles, mais qu’on compare ce qui les a générées (leurs carrés) on trouve ½, rapport commensurable. La commensurabilité ne peut être trouvée dans les ombres (c’est-à-dire les lignes), mais on la trouve dans le domaine de leur cause (la surface des carrés) : c’est seulement ainsi que la relation entre les lignes peut être trouvée.

Nous entrons dans un degré de complexité bien plus grand lorsque nous tentons de construire un polygone dans un cercle. Ce que dit Kepler, c’est qu’il est indispensable de connaître d’abord la proportion existant entre le diamètre du cercle et le côté du polygone que nous souhaitons construire.

Par exemple, si on inscrit un carré dans un cercle, l’arc généré mesure le quart de la circonférence du cercle, mais la corde a une relation « irrationnelle » au diamètre, qui est la diagonale du carré. Comment peut-on commencer notre construction à partir du diamètre ?

Un autre exemple est celui de la construction du décagone et du pentagone :

Sur cette animation, la « proportion particulière » est une coupe du rayon selon la proportion de la section d’or. C’est la seule proportion qui puisse nous donner le côté du décagone.

Au contraire de certains de ses contemporains, comme Pierre de la Ramée, Kepler n’efface pas ces quantités « irrationnelles » : il montre qu’une proportion peut être connue si elle peut être construite en partant du diamètre (de la même façon que notre carré « irrationnel » a pu être construit à partir de son aire).

A travers le Livre I, nous rencontrerons des relations de plus en plus étranges entre le diamètre et les côtés de nos polygones. Mais comme le dit Kepler, « il y a beaucoup de lignes, qui, bien qu’inexprimables, peuvent être définies par les meilleurs calculs ». Il va nous dévoiler un principe d’ordonnancement des proportions (cachées dans le domaine des lignes ou des nombres) en établissant des ordres de noblesse selon la connaissabilité et la constructibilité des polygones générant les divisions proportionnelles d’un cercle. Ce sont donc ces différentes classes de connaissabilité des figures constructibles que nous allons investiguer en premier lieu.

Les degrés de connaissabilité

D’abord il est évident pour tout le monde que le feu, la terre, l’eau et l’air sont des corps. Or, le genre corporel a toujours de la profondeur, et la profondeur est, de toute nécessité, enclose par la nature de la surface, et toute surface de formation rectiligne est composée de triangles. Or, tous les triangles dérivent de deux triangles, dont chacun a un angle droit et les deux autres aigus. L’un de ces triangles a de chaque côté une partie de l’angle droit divisée par des côtés égaux ; l’autre, des parties inégales d’un angle droit divisées par des côtés inégaux. Telle est l’origine que nous assignons au feu et aux autres corps, suivant la méthode qui combine la vraisemblance avec la nécessité. Quant aux origines plus lointaines encore, elles ne sont connues que de Dieu et des hommes qu’il favorise. (Platon, Timée)

Le Livre I de L’Harmonie du monde est fait pour que le lecteur puisse s’armer sur un domaine fondamental de l’harmonie : la géométrie constructive.

Kepler annonce qu’aucun disciple de l’école platonicienne n’a jamais écrit de commentaire suffisamment profond sur le Livre X des Elements d’Euclide, ce qui signifie que personne n’a jamais compris quels sont les véritables fondements des figures géométriques. Euclide, lui, n’a fait que poser des constructions, en se basant sur un axiome : le point, qui est censé n’avoir ni longueur, ni hauteur, ni profondeur. Or, une science basée sur une vision aristotélicienne du monde (en partant de la table rase) rend toute découverte impossible. La qualité définit la quantité, et non l’inverse : là repose l’essence de la connaissabilité.

Kepler va donc nous mener dans un travail en profondeur sur l’origine des figures planes et leur relation à la capacité de l’esprit humain à les construire.

Nous devons chercher les causes des rapports harmoniques : c’est-à-dire, les divisions du cercle en parties égales établies géométriquement et scientifiquement, ce qui est à partir des figures planes régulières démontrables. (page 2)

Dans La République, Platon avance que « Dieu est géomètre et utilise la géométrie dans chacune de ses œuvres ». C’est là tout ce que le travail de Kepler va tenter de démontrer.

Il commence avec un ensemble de définitions :

Définition V : Décrire une figure, c’est déterminer par une opération géométrique le rapport des lignes sous-tendues par les angles, aux lignes formant les côtés des angles ; c’est, à partir là, construire les triangles élémentaires de la figure ; et c’est achever la figure elle-même à partir des autres triangles. (page 8)

A toi, cher lecteur, de construire autant de figures régulières que possible, indépendamment du cercle. L’animation donne l’exemple pour le pentagone.

Une ligne a donc été déterminée pour former le triangle élémentaire. Mais comment l’esprit humain parvient-il à la connaître ?

Définition VII : Connaître, dans les choses géométriques, c’est mesurer au moyen d’une mesure connue ; laquelle mesure connue, dans ce travail d’inscription des figures dans le cercle, est le diamètre du cercle. (page 9)

Les degrés de connaissabilité sont définis par la « distance » séparant une ligne ou une aire du diamètre du cercle, c’est-à-dire par les séries d’actions qui doivent être entreprises par notre esprit pour établir une relation entre ce qui est connu et la quantité recherchée.

Comme c’est à travers l’esprit, et non les sens, que la connaissance des proportions se forme, le lecteur est encouragé à travailler sérieusement les exemples donnés dans ces pédagogiques, les animations ne servant que de guide.

Le premier degré de connaissance correspond à la longueur du diamètre du cercle et son aire. Tout ce qui peut y être comparé directement, comme le carré inscrit, est connaissable au premier degré. La ligne et l’aire sont ainsi connaissables.

Le second degré de connaissance correspond à une portion « exprimable » du diamètre. « Exprimable » est ce que nous appelons les « nombres rationnels » (nombres qui peuvent s’exprimer comme le quotient de deux entiers). L’hexagone entre dans ces cas particuliers : son côté mesure la moitié du diamètre (1/2).

Le troisième degré de connaissance correspond à une ligne « inexprimable » par rapport au diamètre, mais commensurable à l’aire du diamètre. Pour le carré par exemple, la relation du côté au diamètre est de √2/1 (« inexprimable »), mais son aire est la moitié de l’aire du diamètre. L’aire du carré est donc commensurable à l’aire du diamètre, mais pas son côté.

Kepler considère que les quantités se situant au-delà du troisième degré sont de qualité « inexprimable » (« irrationnelle »). Il est très intéressant de noter qu’il suggère que nous éliminions le terme « irrationnel », qui donne une apparence un peu folle à des nombres parfaitement intelligibles. Il ajoute que les quantités qui suivent, bien qu’inexprimables, « peuvent être définies par les meilleurs calculs ». C’est là que l’idée de nombre devient intéressante.

Le quatrième degré de connaissance, le premier de quantités inexprimables, est lorsque ni la ligne ni son carré ne sont exprimables. Mais le carré peut être transformé en rectangle dont les côtés sont exprimables, au moins par rapport au carré du diamètre. L’octogone en est un exemple. Voici une simple construction de l’octogone à partir d’une bissection du côté du carré :

Kepler qualifie l’aire de l’octogone de médiale : elle n’est pas exprimable, mais elle peut être connue. Les quantités médiales ont besoin d’intermédiaires pour entrer en relation avec le diamètre.

Dans l’animation qui suit, les lignes inexprimables QT et QS engendrent le rectangle jaune, dont l’aire est également inexprimable. Le nouveau rectangle, qui a pour côtés la ligne QM et le diamètre (longueurs connaissables), est de surface égale à celle du rectangle jaune. L’animation montre géométriquement que les carrés des côtés du nouveau rectangle sont exprimables et donc commensurables (Clique ici pour un court pédagogique sur les quantités médiales).

Voyons ensuite comment l’aire de l’octogone se compose de deux rectangles médiaux. Le carré vert du milieu est produit par le chevauchement des deux rectangles médiaux ; il est ensuite distribué aux espaces vides en forme de triangles. L’aire de l’octogone est donc bien médiale.

Le carré d’une ligne médiale est lui aussi appelé médial ; il y a donc deux genres d’aires : l’aire exprimable et l’aire médiale.

Les paires de lignes

Or parfois ni la ligne ni l’aire ne peuvent être ramenées au diamètre, et nous ne pouvons trouver ni ligne ni aire médiale pour jouer les intermédiaires. Ces quantités, qui pourraient nous sembler inconnaissables, Kepler nous montre qu’elles peuvent être couplées en paires, de telle façon à ce que « ce qui manque dans un carré, le rendant moins exprimable, est exactement compensé par l’autre carré qui y est associé » (page 13). Il existe trois genres distincts de ces quantités.

Le cinquième degré de connaissance se produit pour des couples de lignes qui individuellement sont inconnaissables (même en carré), mais dont l’addition des deux aires de leurs carrés est exprimable, ou dont le rectangle qu’elles ont en commun est exprimable. Ces deux nouvelles aires sont exprimables, c’est-à-dire qu’elles peuvent être connues et mesurées par le diamètre.

Le côté du dodécagone, HL, et de son étoile, HP, sont un exemple de cinquième degré : HL2 = 2-√3 et HP2 = 2+√3. D’après Pythagore, la somme de leurs carrés correspond exactement au carré du diamètre (figure ci-dessous) ; et comme le montre l’animation ci-dessus, le rectangle jaune HPDL mesure le quart de l’aire du carré du diamètre.

Le sixième degré de connaissance, dans la continuité du cinquième, se produit lorsque seule une des aires communes est exprimable, l’autre étant seulement médiale et requérant un nouveau rectangle de même surface pouvant se rapporter au diamètre.

Il y a donc deux genres de sixième degré :

  1. Quand la somme des carrés est exprimable et que le rectangle est médial (l’octogone en est un exemple) ;
  2. Quand la somme des carrés est médiale et que le rectangle est exprimable.

La figure ci-dessous dévoile le fait que les carrés, dont chacun a une aire inexprimable, en s’additionnent donnent une aire égale au carré du diamètre, aire exprimable.

Ci-dessous, le rectangle jaune formé par les lignes QT et QS est médial (voir le quatrième degré).

A toi, cher lecteur, de trouver un exemple du second type de lignes du sixième degré.

Le septième degré de connaissance a lieu lorsqu’aucune des aires mutuelles n’est exprimable. Les deux sont médiales, et ont besoin d’un intermédiaire pour être connues du diamètre.

Le huitième degré de connaissance est quand les deux aires mutuelles ne sont ni exprimables, ni médiales. Par exemple, l’aire du pentagone peut être divisée en cinq triangles de base FH, côté du pentagone, et de hauteur AN.

Le côté du pentagone, qui forme un triangle rectangle avec le rayon du cercle ou avec le côté du décagone, mesure √((5-√5)/2). Sa hauteur est égale à la racine carrée de la différence entre le rayon de 1 mis au carré, et la moitié du côté du pentagone mis au carré, ce qui fait √((3+√5)/8). Donc l’aire bleue, qui mesure deux cinquièmes de la surface du pentagone, est de (√((10+2√5))/4), et le pentagone entier a une aire de (5√((10+2√5))/8). Un bien étrange résultat ! Comme le note Kepler, c’est ce qui se passe lorsqu’on doit combiner différents types de lignes – par exemple, soustraire une ligne inexprimable d’une ligne exprimable, ou une médiale d’une exprimable – pour connaître une quantité.

En avançant dans le Livre I, nous allons rencontrer des lignes du huitième degré très différentes les unes des autres. Elles auront pour caractéristique commune d’être connaissables à travers la combinaison de différents types de quantités.

Mais il existe des figures dont les triangles élémentaires ne peuvent être trouvés : ce sont les seules qui sont réellement inconnaissables. Ce sera le sujet du pédagogique sur l’heptagone.

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