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AccueilBlogPartie 4

Chapiter 59
Mesurer la distance elliptique avec une aire circulaire

La rédaction

Maintenant que nous avons déterminé le véritable chemin elliptique de la planète dans le chapitre 58, une question reste en suspens : comment appliquer les mathématiques à ce moyen de générer l’orbite – comment peut-on prévoir la position de la planète ? Les distances Soleil-planète peuvent-elles être additionnées sans les erreurs discutées dans les chapitres précédents, lorsque la planète était sur un cercle ? Kepler introduit ici plusieurs théorèmes pour sa démonstration, dont la plupart sont présentés ici.

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Théorème I : Le même rapport subsiste entre les perpendiculaires à l’ellipse et au cercle, peut importe où elles sont placées. Le rapport entre les lignes rouges et les lignes vertes reste le même aux différents points de la figure.

Théorème II : Le rapport entre l’aire totale de l’ellipse et l’aire totale du cercle est le même que le rapport entre les longueurs du Théorème I.

Théorème III : Le même rapport subsiste entre l’aire rouge et la verte. Par conséquent, pour déterminer comment diviser l’aire d’une ellipse dans une proportion donnée, il suffit de trouver comment diviser l’aire du cercle selon le même rapport, ce qui est bien plus facile (nous verrons cela dans le chapitre 60).

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Théorème IV : « Le cercle étant divisé en un nombre quelconque d’arcs égaux par des perpendiculaires de ce mode, l’ellipse est divisée en des arcs inégaux, et ceux qui sont vers les sommets possèdent un rapport maximal ; ceux qui sont dans les lieux moyens, un rapport minimal  ». (page 370)

Aux longitudes moyennes, les arcs elliptiques sont quasiment aussi longs que les arcs circulaires, alors qu’aux apsides, les arcs elliptiques sont bien plus courts.

Théorème V : « Toute la circonférence elliptique est très près de la moyenne arithmétique entre le cercle de diamètre plus long et le cercle de diamètre plus court ». (page 370)

C’est presque vrai, mais pas exact. La moyenne arithmétique est plus proche de la circonférence que ne l’est la moyenne géométrique dont parle Kepler dans le chapitre 48. Les calculs nous donnent les résultats suivant pour une ellipse dont l’excentricité est de 9 265 :

Circonférence réelle : 626 968
Moyenne arithmétique : 626 967
Moyenne géométrique : 626 966

(voir note [1] en bas de page)

Théorème VI : « Les aiguilles des carrés divisés proportionnellement sont mutuellement comme les carrés ». (page 371)

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Les aiguilles rouges de gauche sont plus grandes que celles de droite, dans la même proportion que le carré violet de gauche est plus grand que le carré violet de droite.

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Théorème VII : « Si de l’extrémité du plus court diamètre dans la circonférence de l’ellipse, est déployée la ligne égale au demi-diamètre le plus long, de telle sorte qu’elle soit terminée sur le demi-diamètre le plus long lui-même : la droite qui est placée entre ce point et entre le centre, est capable de l’aiguille que le carré du demi-diamètre le plus long met autour du carré du demi-diamètre le plus court ». (page 371)

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Une autre façon de le voir. L’hypoténuse de ce triangle a une longueur égale au demi-diamètre le plus long. Si on enlève au carré de l’hypoténuse le carré du plus petit demi-diamètre, il reste l’aiguille mauve, l’aire du côté sur le diamètre. Cette technique permet de déterminer où se trouvent les foyers d’une ellipse, comme on le voit dans l’animation qui suit.

{{Théorème I :}} Le même rapport subsiste entre les perpendiculaires à l'ellipse et au cercle, peut importe où elles sont placées. Le rapport entre les lignes rouges et les lignes vertes reste le même aux différents points de la figure. {{Théorème II :}} Le rapport entre l'aire totale de l'ellipse et l'aire totale du cercle est le même que le rapport entre les longueurs du Théorème I. {{Théorème III :}} Le même rapport subsiste entre l'aire rouge et la verte. Par conséquent, pour déterminer comment diviser l'aire d'une ellipse dans une proportion donnée, il suffit de trouver comment diviser l'aire du cercle selon le même rapport, ce qui est bien plus facile (nous verrons cela dans le [chapitre 60->chapitre-60.html]). {{Théorème IV :}} «{Le cercle étant divisé en un nombre quelconque d'arcs égaux par des perpendiculaires de ce mode, l'ellipse est divisée en des arcs inégaux, et ceux qui sont vers les sommets possèdent un rapport maximal; ceux qui sont dans les lieux moyens, un rapport minimal }». (page 370) Aux longitudes moyennes, les arcs elliptiques sont quasiment aussi longs que les arcs circulaires, alors qu'aux apsides, les arcs elliptiques sont bien plus courts. {{Théorème V :}} «{Toute la circonférence elliptique est très près de la moyenne arithmétique entre le cercle de diamètre plus long et le cercle de diamètre plus court}». (page 370) C'est presque vrai, mais pas exact. La moyenne arithmétique est plus proche de la circonférence que ne l'est la moyenne géométrique dont parle Kepler dans le [chapitre 48->chapitre-48.html]. Les calculs nous donnent les résultats suivant pour une ellipse dont l'excentricité est de 9 265 :
Circonférence réelle: 626 968
Moyenne arithmétique: 626 967
Moyenne géométrique: 626 966
(voir note [[Note du Théorème V : Des calculs pour des ellipses de grande excentricité montrent plus clairement la différence entre la moyenne arithmétique et la vraie circonférence de l'ellipse. Par exemple, pour une ellipse avec un demi-axe mineur de 1 et un demi-axe majeur de 2, on obtient les circonférences suivantes:
Circonférence réelle: 9.68845
Moyenne arithmétique: 9.42478
Moyenne géométrique: 8.88577
Nous pouvons ainsi voir pourquoi Kepler a raison de rejeter la moyenne géométrique, en faveur de la moyenne arithmétique entre les cercles inscrits et circonscrits, même si ce n'est pas encore parfaitement correct. La détermination de la circonférence exacte nous conduit au calcul de Leibniz et aux fonctions elliptiques. Voir le [chapitre 48->10434] pour plus d'informations.]] en bas de page) {{Théorème VI:}} «{Les aiguilles des carrés divisés proportionnellement sont mutuellement comme les carrés}». (page 371) Les aiguilles rouges de gauche sont plus grandes que celles de droite, dans la même proportion que le carré violet de gauche est plus grand que le carré violet de droite.
{{Théorème VII:}} «{Si de l'extrémité du plus court diamètre dans la circonférence de l'ellipse, est déployée la ligne égale au demi-diamètre le plus long, de telle sorte qu'elle soit terminée sur le demi-diamètre le plus long lui-même: la droite qui est placée entre ce point et entre le centre, est capable de l'aiguille que le carré du demi-diamètre le plus long met autour du carré du demi-diamètre le plus court}». (page 371)
Une autre façon de le voir. L'hypoténuse de ce triangle a une longueur égale au demi-diamètre le plus long. Si on enlève au carré de l'hypoténuse le carré du plus petit demi-diamètre, il reste l'aiguille mauve, l'aire du côté sur le diamètre. Cette technique permet de déterminer où se trouvent les foyers d'une ellipse, comme on le voit dans l'animation qui suit. Si tu dessines une ellipse en utilisant une ficelle tenue en deux points (les foyers), une singularité surgit lorsque tu arrives aux points de l'axe majeur – il est clair que la longueur totale de la ficelle est égale à l'axe majeur. Il est possible d'utiliser cette méthode pour trouver les foyers. La barre espace permet de mettre l'animation sur pause. {{Théorème VIII: }}«{Si un cercle est divisé en un nombre quelconque ou en une infinité de parties, et si les points de division sont reliés avec un certain point, hormis le centre, à l'intérieur du cercle embrassé, et s'ils sont reliés de même avec le centre: la somme des droites qui viennent du centre sera plus petite que la somme de celles qui viennent de l'autre point}». (page 371) Ici, la ligne violette qui connecte les deux points opposés en passant par le centre est plus petite que la somme des lignes mauves qui connectent ces points en passant par le foyer. Ce problème était survenu dans le [chapitre 40->10420], nous empêchant d'utiliser l'aire pour mesurer la somme des distances: la somme des distances est plus grande que l'aire du cercle. {{Théorème IX : }}«{Si d'autre part les lignes qui sont déterminées par les perpendiculaires abaissées depuis ce point sur celles qui vont par le centre, sont prises pour les lignes à partir du point excentré, ce qui est si les distances diamétrales sont prises pour les circonférentielles, (...) alors la somme de celles qui sont menées du centre, égale leur somme}». (page 372) Si, au lieu de la ligne mauve, la jaune-verte et la bleue-verte sont utilisées, leur somme est le diamètre. Effectuer cette opération pour chaque degré de la circonférence génère une somme de distances égale à la somme de celles dessinées depuis le centre. Kepler démontre en plus que la somme des distances sur une portion du cercle est mesurée par l'aire balayée sur cette portion du cercle. {{Théorème X:}} Peut-être te dis-tu que Kepler utilise des divisions égales du cercle dans le Théorème IX, ce qui donne une division inégale de l'ellipse. Mais que se passerait-il si nous divisions l'ellipse en portions d'arc égales, et que nous regardions la somme des distances Soleil-planète le long de ces arcs elliptiques ? Cette somme serait-elle mesurée par l'aire? Pour les mêmes raisons que celles données dans le Théorème VIII, la réponse est non. «{L'aire de l'ellipse n'est pas propre à la mesure de la somme des distances des arcs égaux de sa circonférence elliptique}». (page 373) {{Théorème XI:}} «{Ces choses étant ainsi posées d'avance, j'exposerai maintenant la démonstration. Si dans l'ellipse divisée comme dans l'élément IV ci-dessus, les perpendiculaires étant abaissées à partir des arcs égaux du cercle, les points de division du cercle et de l'ellipse sont joints avec le point qui fut trouvé dans l'élément VII: je dis que les droites qui sont menées dans la circonférence du cercle sont des circonférentielles; de plus celles qui sont établies à un nombre égal de degrés depuis l'apside de l'épicycle dans la circonférence de l'ellipse, sont des diamétrales}». (page 373) Cette méthode de construction de l'ellipse est celle du [chapitre 58->10444]. Par construction, NM = KT. Pour comprendre ce que signifie les termes distance circonférentielle et distance diamétrale, jette un coup d'œil à la figure suivante. «{Je dis que NK est la circonférentielle αδ (cela est démontré au chapitre 2), et que NM est la diamétrale ακ}». (page 373) Sur ce diagramme repris du [chapitre 39->10419], δ est sur la circonférence de l'épicycle, κ est sur la ligne coupant le diamètre de l'épicycle. En utilisant la construction du [chapitre 58->10444], les distances du Soleil aux points situés sur l'ellipse (NM) peuvent être additionnées pour obtenir la même aire que celle du cercle (Théorème IX). Ce qui signifie que nous pouvons utiliser l'aire du cercle pour mesurer la somme des distances! Et comme la somme des distances mesure le temps parcouru pour passer par chacune de ces distances, l'aire devient ainsi une vraie mesure du temps. Rappelle-toi, Kepler ne pensait pas au départ que l'aire puisse donner une mesure exacte du temps! {{Théorème XII :}} «{Bien plus, ceci provenant de la même chose, est encore visible, à savoir: l'aire du cercle en totalité et par chacune des parties, est faite la mesure naturelle de la somme des lignes par lesquelles sont distants les arcs du chemin planétaire elliptique, depuis le centre du Soleil}». (page 374) {{Théorème XIII: }}Certains pourraient objecter qu'il faudrait prendre des arcs elliptiques égaux plutôt que les arcs circulaires égaux présentés ici.{{}} «{Il est répondu que l'arc d'ellipse dont l'aire AKN mesure les délais, doit être certainement divisé en parties inégales, et que celles qui sont plus voisines des apsides sont plus petites}». (page 375) Kepler réalise que s'il n'avait pas utilisé des arcs inégaux, la planète se serait déplacée trop vite au niveau des apsides. De plus, la somme des distances de la planète au niveau des longitudes moyennes est égale à la somme de ses distances aux apsides (par construction). Donc si les arcs étaient tous égaux, la somme des aires serait plus grande aux apsides qu'aux longitudes moyennes, même si la somme des distances était la même. Cela donne une raison d'avoir des arcs plus courts aux apsides, mais sont-ils aussi courts que dans la construction de Kepler? Il le montre juste après. {{Théorème XIV:}} Celui-ci, c'est un sacré morceau! Plus de choses seront dites ici dans un lointain futur. Pour l'heure, cher lecteur, nous t'invitons à te référer à {L'Abrégé d'astronomie copernicienne}, Livre V, Partie I, chapitre 4, où Kepler donne une explication bien plus claire, exprimant ses regrets de n'avoir pas réussi à simplifier ses explications dans {La Nouvelle astronomie}. Il peut être utile d'insérer ici un raffinement dans la pensée de Kepler, tel qu'il l'exprime dans son {Abrégé}: il reconsidère son hypothèse des distances du chapitre 33. Il divise le mouvement de la planète en deux composants: le mouvement autour du Soleil, causé par la vertu solaire, et le balancement qui rapproche ou qui éloigne du Soleil, causé par une autre vertu. Quand ces deux composants sont considérés séparément, «{Les délais du temps semblent être égaux non aux arcs égaux en soi, mais à leurs égales progressions autour du Soleil, à la même distance du Soleil}». Bien que les arcs de l'ellipse soient maintenant divisés de façon inégale, ils correspondent à des divisions égales du mouvement périodique, sans le balancement. Les arcs sont donc plus grands aux longitudes moyennes, car c'est là que la puissance de balancement est la plus forte. {{Théorème XV: }}Comme il a été démontré que l'aire elliptique est la mesure appropriée du temps, et que les aires circulaires sont proportionnelles aux aires elliptiques (Théorème III), l'aire balayée sur le cercle peut être utilisée pour mesurer le temps. Ce qui est bien plus facile que d'utiliser directement l'aire de l'ellipse! {{{Confirmation}}} Quand Kepler teste cette hypothèse, au lieu d'avoir une erreur de 5½' comme dans l'hypothèse "gonflée", il trouve que «{quand NM doit être appliqué à la ligne KH pour qu'elle fût ZN, et ainsi puisque j'avais recherché l'anomalie égalée MNA, lui attribuant celle de l'anomalie moyenne AKN, manifestement les équations différaient de mon hypothèse suppléante du chapitre 16}». (page 378) Note : la version française dit «{anomalie égalée ZNA}». Voici une animation qui superpose l'hypothèse suppléante sur la véritable orbite elliptique du [chapitre 58->10444]. L'hypothèse suppléante est en violet : l'équant, le centre, la position de la planète, et l'orbite. La vraie orbite est en pointillés rouges. Et cela correspond parfaitement: le Soleil voit la planète selon l'hypothèse du chapitre 58 à la même longitude qu'il la verrait selon l'hypothèse suppléante! Vu que c'est difficile à voir, une autre animation avec une excentricité exagérée est présentée à droite :
{{{Difficulté!}}} Tu n'es certainement pas le seul à avoir pensé que ce chapitre est difficile. Kepler conclut : «{Si quelqu’un pense qu’une obscurité naît de ce débat, (…) il verra qu'il y a certaines matières de nul plaisir d'esprit, qui pourraient être rapportées de telle sorte qu'elles seraient comprises par une lecture à la course. Il est nécessaire de méditation et d'une réflexion très serrée des choses dites}». (page 378)' /> {{Théorème I :}} Le même rapport subsiste entre les perpendiculaires à l'ellipse et au cercle, peut importe où elles sont placées. Le rapport entre les lignes rouges et les lignes vertes reste le même aux différents points de la figure. {{Théorème II :}} Le rapport entre l'aire totale de l'ellipse et l'aire totale du cercle est le même que le rapport entre les longueurs du Théorème I. {{Théorème III :}} Le même rapport subsiste entre l'aire rouge et la verte. Par conséquent, pour déterminer comment diviser l'aire d'une ellipse dans une proportion donnée, il suffit de trouver comment diviser l'aire du cercle selon le même rapport, ce qui est bien plus facile (nous verrons cela dans le [chapitre 60->chapitre-60.html]). {{Théorème IV :}} «{Le cercle étant divisé en un nombre quelconque d'arcs égaux par des perpendiculaires de ce mode, l'ellipse est divisée en des arcs inégaux, et ceux qui sont vers les sommets possèdent un rapport maximal; ceux qui sont dans les lieux moyens, un rapport minimal }». (page 370) Aux longitudes moyennes, les arcs elliptiques sont quasiment aussi longs que les arcs circulaires, alors qu'aux apsides, les arcs elliptiques sont bien plus courts. {{Théorème V :}} «{Toute la circonférence elliptique est très près de la moyenne arithmétique entre le cercle de diamètre plus long et le cercle de diamètre plus court}». (page 370) C'est presque vrai, mais pas exact. La moyenne arithmétique est plus proche de la circonférence que ne l'est la moyenne géométrique dont parle Kepler dans le [chapitre 48->chapitre-48.html]. Les calculs nous donnent les résultats suivant pour une ellipse dont l'excentricité est de 9 265 :
Circonférence réelle: 626 968
Moyenne arithmétique: 626 967
Moyenne géométrique: 626 966
(voir note [[Note du Théorème V : Des calculs pour des ellipses de grande excentricité montrent plus clairement la différence entre la moyenne arithmétique et la vraie circonférence de l'ellipse. Par exemple, pour une ellipse avec un demi-axe mineur de 1 et un demi-axe majeur de 2, on obtient les circonférences suivantes:
Circonférence réelle: 9.68845
Moyenne arithmétique: 9.42478
Moyenne géométrique: 8.88577
Nous pouvons ainsi voir pourquoi Kepler a raison de rejeter la moyenne géométrique, en faveur de la moyenne arithmétique entre les cercles inscrits et circonscrits, même si ce n'est pas encore parfaitement correct. La détermination de la circonférence exacte nous conduit au calcul de Leibniz et aux fonctions elliptiques. Voir le [chapitre 48->10434] pour plus d'informations.]] en bas de page) {{Théorème VI:}} «{Les aiguilles des carrés divisés proportionnellement sont mutuellement comme les carrés}». (page 371) Les aiguilles rouges de gauche sont plus grandes que celles de droite, dans la même proportion que le carré violet de gauche est plus grand que le carré violet de droite.
{{Théorème VII:}} «{Si de l'extrémité du plus court diamètre dans la circonférence de l'ellipse, est déployée la ligne égale au demi-diamètre le plus long, de telle sorte qu'elle soit terminée sur le demi-diamètre le plus long lui-même: la droite qui est placée entre ce point et entre le centre, est capable de l'aiguille que le carré du demi-diamètre le plus long met autour du carré du demi-diamètre le plus court}». (page 371)
Une autre façon de le voir. L'hypoténuse de ce triangle a une longueur égale au demi-diamètre le plus long. Si on enlève au carré de l'hypoténuse le carré du plus petit demi-diamètre, il reste l'aiguille mauve, l'aire du côté sur le diamètre. Cette technique permet de déterminer où se trouvent les foyers d'une ellipse, comme on le voit dans l'animation qui suit. Si tu dessines une ellipse en utilisant une ficelle tenue en deux points (les foyers), une singularité surgit lorsque tu arrives aux points de l'axe majeur – il est clair que la longueur totale de la ficelle est égale à l'axe majeur. Il est possible d'utiliser cette méthode pour trouver les foyers. La barre espace permet de mettre l'animation sur pause. {{Théorème VIII: }}«{Si un cercle est divisé en un nombre quelconque ou en une infinité de parties, et si les points de division sont reliés avec un certain point, hormis le centre, à l'intérieur du cercle embrassé, et s'ils sont reliés de même avec le centre: la somme des droites qui viennent du centre sera plus petite que la somme de celles qui viennent de l'autre point}». (page 371) Ici, la ligne violette qui connecte les deux points opposés en passant par le centre est plus petite que la somme des lignes mauves qui connectent ces points en passant par le foyer. Ce problème était survenu dans le [chapitre 40->10420], nous empêchant d'utiliser l'aire pour mesurer la somme des distances: la somme des distances est plus grande que l'aire du cercle. {{Théorème IX : }}«{Si d'autre part les lignes qui sont déterminées par les perpendiculaires abaissées depuis ce point sur celles qui vont par le centre, sont prises pour les lignes à partir du point excentré, ce qui est si les distances diamétrales sont prises pour les circonférentielles, (...) alors la somme de celles qui sont menées du centre, égale leur somme}». (page 372) Si, au lieu de la ligne mauve, la jaune-verte et la bleue-verte sont utilisées, leur somme est le diamètre. Effectuer cette opération pour chaque degré de la circonférence génère une somme de distances égale à la somme de celles dessinées depuis le centre. Kepler démontre en plus que la somme des distances sur une portion du cercle est mesurée par l'aire balayée sur cette portion du cercle. {{Théorème X:}} Peut-être te dis-tu que Kepler utilise des divisions égales du cercle dans le Théorème IX, ce qui donne une division inégale de l'ellipse. Mais que se passerait-il si nous divisions l'ellipse en portions d'arc égales, et que nous regardions la somme des distances Soleil-planète le long de ces arcs elliptiques ? Cette somme serait-elle mesurée par l'aire? Pour les mêmes raisons que celles données dans le Théorème VIII, la réponse est non. «{L'aire de l'ellipse n'est pas propre à la mesure de la somme des distances des arcs égaux de sa circonférence elliptique}». (page 373) {{Théorème XI:}} «{Ces choses étant ainsi posées d'avance, j'exposerai maintenant la démonstration. Si dans l'ellipse divisée comme dans l'élément IV ci-dessus, les perpendiculaires étant abaissées à partir des arcs égaux du cercle, les points de division du cercle et de l'ellipse sont joints avec le point qui fut trouvé dans l'élément VII: je dis que les droites qui sont menées dans la circonférence du cercle sont des circonférentielles; de plus celles qui sont établies à un nombre égal de degrés depuis l'apside de l'épicycle dans la circonférence de l'ellipse, sont des diamétrales}». (page 373) Cette méthode de construction de l'ellipse est celle du [chapitre 58->10444]. Par construction, NM = KT. Pour comprendre ce que signifie les termes distance circonférentielle et distance diamétrale, jette un coup d'œil à la figure suivante. «{Je dis que NK est la circonférentielle αδ (cela est démontré au chapitre 2), et que NM est la diamétrale ακ}». (page 373) Sur ce diagramme repris du [chapitre 39->10419], δ est sur la circonférence de l'épicycle, κ est sur la ligne coupant le diamètre de l'épicycle. En utilisant la construction du [chapitre 58->10444], les distances du Soleil aux points situés sur l'ellipse (NM) peuvent être additionnées pour obtenir la même aire que celle du cercle (Théorème IX). Ce qui signifie que nous pouvons utiliser l'aire du cercle pour mesurer la somme des distances! Et comme la somme des distances mesure le temps parcouru pour passer par chacune de ces distances, l'aire devient ainsi une vraie mesure du temps. Rappelle-toi, Kepler ne pensait pas au départ que l'aire puisse donner une mesure exacte du temps! {{Théorème XII :}} «{Bien plus, ceci provenant de la même chose, est encore visible, à savoir: l'aire du cercle en totalité et par chacune des parties, est faite la mesure naturelle de la somme des lignes par lesquelles sont distants les arcs du chemin planétaire elliptique, depuis le centre du Soleil}». (page 374) {{Théorème XIII: }}Certains pourraient objecter qu'il faudrait prendre des arcs elliptiques égaux plutôt que les arcs circulaires égaux présentés ici.{{}} «{Il est répondu que l'arc d'ellipse dont l'aire AKN mesure les délais, doit être certainement divisé en parties inégales, et que celles qui sont plus voisines des apsides sont plus petites}». (page 375) Kepler réalise que s'il n'avait pas utilisé des arcs inégaux, la planète se serait déplacée trop vite au niveau des apsides. De plus, la somme des distances de la planète au niveau des longitudes moyennes est égale à la somme de ses distances aux apsides (par construction). Donc si les arcs étaient tous égaux, la somme des aires serait plus grande aux apsides qu'aux longitudes moyennes, même si la somme des distances était la même. Cela donne une raison d'avoir des arcs plus courts aux apsides, mais sont-ils aussi courts que dans la construction de Kepler? Il le montre juste après. {{Théorème XIV:}} Celui-ci, c'est un sacré morceau! Plus de choses seront dites ici dans un lointain futur. Pour l'heure, cher lecteur, nous t'invitons à te référer à {L'Abrégé d'astronomie copernicienne}, Livre V, Partie I, chapitre 4, où Kepler donne une explication bien plus claire, exprimant ses regrets de n'avoir pas réussi à simplifier ses explications dans {La Nouvelle astronomie}. Il peut être utile d'insérer ici un raffinement dans la pensée de Kepler, tel qu'il l'exprime dans son {Abrégé}: il reconsidère son hypothèse des distances du chapitre 33. Il divise le mouvement de la planète en deux composants: le mouvement autour du Soleil, causé par la vertu solaire, et le balancement qui rapproche ou qui éloigne du Soleil, causé par une autre vertu. Quand ces deux composants sont considérés séparément, «{Les délais du temps semblent être égaux non aux arcs égaux en soi, mais à leurs égales progressions autour du Soleil, à la même distance du Soleil}». Bien que les arcs de l'ellipse soient maintenant divisés de façon inégale, ils correspondent à des divisions égales du mouvement périodique, sans le balancement. Les arcs sont donc plus grands aux longitudes moyennes, car c'est là que la puissance de balancement est la plus forte. {{Théorème XV: }}Comme il a été démontré que l'aire elliptique est la mesure appropriée du temps, et que les aires circulaires sont proportionnelles aux aires elliptiques (Théorème III), l'aire balayée sur le cercle peut être utilisée pour mesurer le temps. Ce qui est bien plus facile que d'utiliser directement l'aire de l'ellipse! {{{Confirmation}}} Quand Kepler teste cette hypothèse, au lieu d'avoir une erreur de 5½' comme dans l'hypothèse "gonflée", il trouve que «{quand NM doit être appliqué à la ligne KH pour qu'elle fût ZN, et ainsi puisque j'avais recherché l'anomalie égalée MNA, lui attribuant celle de l'anomalie moyenne AKN, manifestement les équations différaient de mon hypothèse suppléante du chapitre 16}». (page 378) Note : la version française dit «{anomalie égalée ZNA}». Voici une animation qui superpose l'hypothèse suppléante sur la véritable orbite elliptique du [chapitre 58->10444]. L'hypothèse suppléante est en violet : l'équant, le centre, la position de la planète, et l'orbite. La vraie orbite est en pointillés rouges. Et cela correspond parfaitement: le Soleil voit la planète selon l'hypothèse du chapitre 58 à la même longitude qu'il la verrait selon l'hypothèse suppléante! Vu que c'est difficile à voir, une autre animation avec une excentricité exagérée est présentée à droite :
{{{Difficulté!}}} Tu n'es certainement pas le seul à avoir pensé que ce chapitre est difficile. Kepler conclut : «{Si quelqu’un pense qu’une obscurité naît de ce débat, (…) il verra qu'il y a certaines matières de nul plaisir d'esprit, qui pourraient être rapportées de telle sorte qu'elles seraient comprises par une lecture à la course. Il est nécessaire de méditation et d'une réflexion très serrée des choses dites}». (page 378)' />

Si tu dessines une ellipse en utilisant une ficelle tenue en deux points (les foyers), une singularité surgit lorsque tu arrives aux points de l’axe majeur – il est clair que la longueur totale de la ficelle est égale à l’axe majeur. Il est possible d’utiliser cette méthode pour trouver les foyers. La barre espace permet de mettre l’animation sur pause.

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Théorème VIII : « Si un cercle est divisé en un nombre quelconque ou en une infinité de parties, et si les points de division sont reliés avec un certain point, hormis le centre, à l’intérieur du cercle embrassé, et s’ils sont reliés de même avec le centre : la somme des droites qui viennent du centre sera plus petite que la somme de celles qui viennent de l’autre point ». (page 371)

Ici, la ligne violette qui connecte les deux points opposés en passant par le centre est plus petite que la somme des lignes mauves qui connectent ces points en passant par le foyer. Ce problème était survenu dans le chapitre 40, nous empêchant d’utiliser l’aire pour mesurer la somme des distances : la somme des distances est plus grande que l’aire du cercle.

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Théorème IX : « Si d’autre part les lignes qui sont déterminées par les perpendiculaires abaissées depuis ce point sur celles qui vont par le centre, sont prises pour les lignes à partir du point excentré, ce qui est si les distances diamétrales sont prises pour les circonférentielles, (...) alors la somme de celles qui sont menées du centre, égale leur somme ». (page 372)

Si, au lieu de la ligne mauve, la jaune-verte et la bleue-verte sont utilisées, leur somme est le diamètre. Effectuer cette opération pour chaque degré de la circonférence génère une somme de distances égale à la somme de celles dessinées depuis le centre.

Kepler démontre en plus que la somme des distances sur une portion du cercle est mesurée par l’aire balayée sur cette portion du cercle.

Théorème X : Peut-être te dis-tu que Kepler utilise des divisions égales du cercle dans le Théorème IX, ce qui donne une division inégale de l’ellipse. Mais que se passerait-il si nous divisions l’ellipse en portions d’arc égales, et que nous regardions la somme des distances Soleil-planète le long de ces arcs elliptiques ? Cette somme serait-elle mesurée par l’aire ? Pour les mêmes raisons que celles données dans le Théorème VIII, la réponse est non.

« L’aire de l’ellipse n’est pas propre à la mesure de la somme des distances des arcs égaux de sa circonférence elliptique ». (page 373)

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Théorème XI : « Ces choses étant ainsi posées d’avance, j’exposerai maintenant la démonstration. Si dans l’ellipse divisée comme dans l’élément IV ci-dessus, les perpendiculaires étant abaissées à partir des arcs égaux du cercle, les points de division du cercle et de l’ellipse sont joints avec le point qui fut trouvé dans l’élément VII : je dis que les droites qui sont menées dans la circonférence du cercle sont des circonférentielles ; de plus celles qui sont établies à un nombre égal de degrés depuis l’apside de l’épicycle dans la circonférence de l’ellipse, sont des diamétrales ». (page 373)

Cette méthode de construction de l’ellipse est celle du chapitre 58. Par construction, NM = KT. Pour comprendre ce que signifie les termes distance circonférentielle et distance diamétrale, jette un coup d’œil à la figure suivante.

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« Je dis que NK est la circonférentielle αδ (cela est démontré au chapitre 2), et que NM est la diamétrale ακ ». (page 373)

Sur ce diagramme repris du chapitre 39, δ est sur la circonférence de l’épicycle, κ est sur la ligne coupant le diamètre de l’épicycle.

En utilisant la construction du chapitre 58, les distances du Soleil aux points situés sur l’ellipse (NM) peuvent être additionnées pour obtenir la même aire que celle du cercle (Théorème IX). Ce qui signifie que nous pouvons utiliser l’aire du cercle pour mesurer la somme des distances ! Et comme la somme des distances mesure le temps parcouru pour passer par chacune de ces distances, l’aire devient ainsi une vraie mesure du temps. Rappelle-toi, Kepler ne pensait pas au départ que l’aire puisse donner une mesure exacte du temps !

Théorème XII : « Bien plus, ceci provenant de la même chose, est encore visible, à savoir : l’aire du cercle en totalité et par chacune des parties, est faite la mesure naturelle de la somme des lignes par lesquelles sont distants les arcs du chemin planétaire elliptique, depuis le centre du Soleil ». (page 374)

Théorème XIII : Certains pourraient objecter qu’il faudrait prendre des arcs elliptiques égaux plutôt que les arcs circulaires égaux présentés ici.{{}}

« Il est répondu que l’arc d’ellipse dont l’aire AKN mesure les délais, doit être certainement divisé en parties inégales, et que celles qui sont plus voisines des apsides sont plus petites ». (page 375)

Kepler réalise que s’il n’avait pas utilisé des arcs inégaux, la planète se serait déplacée trop vite au niveau des apsides. De plus, la somme des distances de la planète au niveau des longitudes moyennes est égale à la somme de ses distances aux apsides (par construction). Donc si les arcs étaient tous égaux, la somme des aires serait plus grande aux apsides qu’aux longitudes moyennes, même si la somme des distances était la même. Cela donne une raison d’avoir des arcs plus courts aux apsides, mais sont-ils aussi courts que dans la construction de Kepler ? Il le montre juste après.

Théorème XIV : Celui-ci, c’est un sacré morceau ! Plus de choses seront dites ici dans un lointain futur. Pour l’heure, cher lecteur, nous t’invitons à te référer à L’Abrégé d’astronomie copernicienne, Livre V, Partie I, chapitre 4, où Kepler donne une explication bien plus claire, exprimant ses regrets de n’avoir pas réussi à simplifier ses explications dans La Nouvelle astronomie.

Il peut être utile d’insérer ici un raffinement dans la pensée de Kepler, tel qu’il l’exprime dans son Abrégé : il reconsidère son hypothèse des distances du chapitre 33. Il divise le mouvement de la planète en deux composants : le mouvement autour du Soleil, causé par la vertu solaire, et le balancement qui rapproche ou qui éloigne du Soleil, causé par une autre vertu. Quand ces deux composants sont considérés séparément,

« Les délais du temps semblent être égaux non aux arcs égaux en soi, mais à leurs égales progressions autour du Soleil, à la même distance du Soleil ».

Bien que les arcs de l’ellipse soient maintenant divisés de façon inégale, ils correspondent à des divisions égales du mouvement périodique, sans le balancement. Les arcs sont donc plus grands aux longitudes moyennes, car c’est là que la puissance de balancement est la plus forte.

Théorème XV : Comme il a été démontré que l’aire elliptique est la mesure appropriée du temps, et que les aires circulaires sont proportionnelles aux aires elliptiques (Théorème III), l’aire balayée sur le cercle peut être utilisée pour mesurer le temps. Ce qui est bien plus facile que d’utiliser directement l’aire de l’ellipse !

Confirmation

Quand Kepler teste cette hypothèse, au lieu d’avoir une erreur de 5½’ comme dans l’hypothèse "gonflée", il trouve que

« quand NM doit être appliqué à la ligne KH pour qu’elle fût ZN, et ainsi puisque j’avais recherché l’anomalie égalée MNA, lui attribuant celle de l’anomalie moyenne AKN, manifestement les équations différaient de mon hypothèse suppléante du chapitre 16 ». (page 378)

Note : la version française dit « anomalie égalée ZNA ».

Voici une animation qui superpose l’hypothèse suppléante sur la véritable orbite elliptique du chapitre 58. L’hypothèse suppléante est en violet : l’équant, le centre, la position de la planète, et l’orbite. La vraie orbite est en pointillés rouges. Et cela correspond parfaitement : le Soleil voit la planète selon l’hypothèse du chapitre 58 à la même longitude qu’il la verrait selon l’hypothèse suppléante ! Vu que c’est difficile à voir, une autre animation avec une excentricité exagérée est présentée à droite :

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Difficulté !

Tu n’es certainement pas le seul à avoir pensé que ce chapitre est difficile. Kepler conclut :

« Si quelqu’un pense qu’une obscurité naît de ce débat, (…) il verra qu’il y a certaines matières de nul plaisir d’esprit, qui pourraient être rapportées de telle sorte qu’elles seraient comprises par une lecture à la course. Il est nécessaire de méditation et d’une réflexion très serrée des choses dites ». (page 378)


[1Note du Théorème V :

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Des calculs pour des ellipses de grande excentricité montrent plus clairement la différence entre la moyenne arithmétique et la vraie circonférence de l’ellipse. Par exemple, pour une ellipse avec un demi-axe mineur de 1 et un demi-axe majeur de 2, on obtient les circonférences suivantes :

Circonférence réelle : 9.68845
Moyenne arithmétique : 9.42478
Moyenne géométrique : 8.88577

Nous pouvons ainsi voir pourquoi Kepler a raison de rejeter la moyenne géométrique, en faveur de la moyenne arithmétique entre les cercles inscrits et circonscrits, même si ce n’est pas encore parfaitement correct. La détermination de la circonférence exacte nous conduit au calcul de Leibniz et aux fonctions elliptiques. Voir le chapitre 48 pour plus d’informations.

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